湖南长沙企业办理境外投资备案的流程如下：

发改委立项备案：

企业需要向国家发展和改革委员会（发改委）提交立项申请，包含《境外投资备案表》以及其他必要的文件资料，如请示文件、真实性承诺书等。

发改委根据相关规定对企业境外投资项目进行审核，符合条件的予以核准或备案，并出具《境外投资项目备案通知书》。

商务部审批或备案：

对属于备案情形的境外投资，企业登录“境外投资管理系统”，按要求填写并打印《境外投资备案表》，加盖印章后，连同企业营业执照复印件报湖南省商务厅备案。《备案表》填写如实、完整、符合法定形式，且企业在《备案表》中声明其境外投资无相关禁止情形的，湖南省商务厅自收到《备案表》之日起3个工作日内予以备案并颁发《企业境外投资证书》。企业不如实、完整填报《备案表》的，商务厅不予备案。

对属于核准情形的境外投资，企业通过湖南省商务厅向商务部提出申请，需提交申请书（主要包括投资主体情况、境外企业名称、股权结构、投资金额、经营范围、经营期限、投资资金来源、投资具体内容等）、《境外投资申请表》（企业应登陆“管理系统”，按要求填写打印，并加盖印章）、境外投资相关合同或协议、有关部门对境外投资所涉的属于中华人民共和国限制出口的产品或技术准予出口的材料以及企业营业执照复印件等材料。

核准境外投资须由湖南省商务厅征求我驻外使（领）馆（经商处室）意见。必要时，企业应按商务厅要求，依指定方式向我驻外使（领）馆报告境外投资有关情况。驻外使（领）馆（经商处室）自接到征求意见要求之日起7个工作日内回复。

湖南省商务厅在受理企业核准申请后对申请是否涉及相关禁止情形进行初步审查，并在15个工作日内（包含征求驻外使（领）馆（经商处室）意见的时间）将初步审查意见和全部申请材料报送商务部。申请材料不齐全或者不符合法定形式的，商务厅在3个工作日内一次告知申请企业需要补正的全部内容。企业按照商务厅的要求提交全部补正申请材料的，商务厅予以受理。逾期不告知的，自收到申请材料之日起即为受理。

商务部自收到湖南省商务厅的初步审查意见后，在15个工作日内做出是否予以核准的决定。对予以核准的境外投资，由商务部出具书面核准决定并委托湖南省商务厅颁发《企业境外投资证书》。因存在相关禁止情形而不予核准的，商务部将书面通知申请企业并说明理由，告知其享有依法申请行政复议或者提起行政诉讼的权利。企业提供虚假材料申请核准的，商务部不予核准。

外汇管理局备案：根据投资金额的不同，企业可能需要向国家外汇管理局申报，办理境外直接投资外汇登记手续，获取《境外直接投资外汇登记证》。对于投资金额超过一定标准的投资项目，还需要提供投资资金来源的合法性和充足性的证明。

地方商务部门或相关审批机构：在某些情况下，企业还需根据地方商务部门的具体要求进行备案或审批。

需注意，境外投资备案流程可能会因法规政策的变化而有微调，企业应关注zui新的法律法规和行政指导。同时，企业开展境外投资不得有危害中华人民共和国国家主权、安全和社会公共利益，或违反中华人民共和国法律法规；损害中华人民共和国与有关国家（地区）关系；违反中华人民共和国缔结或者参加的国际条约、协定；出口中华人民共和国禁止出口的产品和技术等情形。

另外，不同地区的具体要求和流程可能会有所差异，建议在办理前咨询当地的商务、发改、外汇管理等相关部门，以确保备案顺利进行。